Mer om den matematiske bakgrunnen:

Den deriverte til en funksjon  f  viser seg som stigningstallet til tangenten på funksjonens graf. For å gi forestillingen "Tangenten til en kurve" en presis definisjon, og også for faktisk å kunne beregne stigningstallet til en tangent, skal vi i fortsettelsen betrakte en " sekant " slik: Dersom x₀ er punktet, der den deriverte skal beregnes, så har det tilhørende punktet P på grafen koordinatene (x₀, f(x₀)). Vi søker altså stigningstallet til tangenten i punktet P på grafen.

Til dette betrakter vi i tillegg et annet punkt Q i avstand h fra x med koordinatene (x₀ + h, f(x₀+ h)). Den rette linjen gjennom P og Q skjærer kurven (i minst) to punkter - en slik rett linje kaller vi en "sekant". Dens stigningstall er gitt ved kvotienten

• av differensen til y -verdiene (det vil si differensen mellom funksjonsverdiene): f(x₀+ h) - f(x₀)
• og differensen til x-verdiene, dvs. h, altså

Her kan h være både positiv eller negativ (i det første tilfelle ligger Q "til høyre" for P, i det andre tilfelle "til venstre" for P ).

Når h nærmer seg tallet 0, så rykker Q stadig nærmere P. Sekanten nærmer seg, og stigningstallet til sekanten nærmer seg stigningstallet til tangenten som er den verdien vi er på jakt etter. Er h = 0, så blir Q sammenfallende med P. Vi kan riktignok ikke finne stigningstallet til tangenten ved ganske enkelt å sette h = 0 inn i dette uttrykket (det gir det meningsløse uttrykket 0/0), men den blir gitt ved grenseverdien for stigningstallet til sekantene når h ® 0. Dette er den formelle definisjonen til den deriverte til en funksjon for en gitt verdi x₀.

Dersom denne grenseverdien eksisterer, sier vi at funksjonen er deriverbar i punktet x₀. Dersom den ikke eksisterer (f.eks. når grafen har en knekk og derfor ikke har en tangent), er funksjonen ikke deriverbar for verdien x₀ - da har funksjonen ikke noen derivert i dette punktet.

Animasjonen illustrerer grenseovergangen som inntrer når h ® 0, det at