Oppgaver
 
 
  1. Lek litt med animasjonen til du er fortrolig med hvordan den virker. For hvert nytt ledd skal du prøve å legge merke til (også ved å løse de følgende oppgavene) såvel posisjonen på tallinjen som den numeriske verdien. Start med å studere tallfølgen gitt ved an = n - 5. Du bør underveis kontrollere den markerte verdi ved å regne selv ! Prøv å finn de tre første ledd til tallfølgen gitt an = 5 - n2 og deres posisjon på tallinjen før du klikker!

    Dersom du ikke er fortrolig med funksjonen "sin" (Sinus), kan du bare hoppe over de oppgavene som inneholder disse to tallfølgene !
     
  2. Hvilke av de angitte formlene beskriver aritmetiske tallfølger, og hvilke beskriver geometriske tallfølger?
     
  3. Hva er størst: 10. rota av 10 eller 20. rota av 20? Bruk den siste av de angitte formlene for å besvare spørsmålet! Hvor stor blir omtrent en ”million-te” rota av en million?
     
  4. Når det finnes et tall som er slik at dette tallet er større (mindre) enn alle ledd i tallfølga, sier vi at den har en øvre (nedre) grense. Hvilke av de angitte tallfølgene mener du har en slik øvre (nedre) grense?
    (Tilleggsoppgave: Prøv å bevise dine antagelser ved hjelp av en analyse av formelen for det n-te ledd!)
     
  5. Hvis hvert (fra og med andre) ledd er større eller lik (mindre eller lik) det foregående sier vi at tallfølgen er monoton voksende (avtagende). Studer de første 30 leddene for de angitte tallfølgene! Ut i fra hvordan verdiene oppfører seg, hvilke tallfølger ville du karakterisere som monoton voksende og hvilke ville du karakterisere som monoton avtagende? Legg merke til at de første leddene i tallfølgen ikke nødvendigvis oppfører seg slik som resten av tallfølgen. For hvilke av tallfølgene vil de første 5 leddene kunne føre til en gal diagnose for monotoni-egenskapen?
    (Tilleggsoppgave: Forsøk å bevise dine antagelser ved å analysere det n-te ledd!)
     
  6. Hvis ikke den utpekte verdien endrer seg noe nevneverdig etter gjentatt klikking, tyder dette på (men er ingen bevis!) at tallfølgen er konvergent. Hvilke av de angitte tallfølgene vil du etter dette kriteriet betegne som konvergent? Prøv i disse tilfellene å avlese grenseverdien!
    (Tilleggsoppgave: Forsøk å bevise konvergensen ved å analysere formelen og beregn beregn så grenseverdien!)
     
  7. Hvor mange ganger må du klikke formelen for å komme i nærheten av grenseverdien? Legg merke til at dette kan være helt forskjellig for ulike tallfølger! For hvilke tallfølger går det fortest? Hvorfor?
     
  8. Angående den formelle definisjonen til grenseverdien:
     
    • Studer tallfølgen an = 5/n. Fra og med hvilken verdi for n er avstanden fra an til grenseverdien mindre enn 0,2 ? Fra og med hvilken verdi for n er den mindre enn 0,1 ?
       
    • Studer tallfølgen an = 50n/(n2 + 50). Fra og med hvilken verdi for n er avstanden fra an til grenseverdien mindre enn 1 ? Fra og med hvilken verdi for n er den mindre enn 0,5 ?
       
    • Studer tallfølgen an = 1 + (-1)n/n. Fra og med hvilken verdi for n er avstanden fra an til grenseverdien mindre enn 0,1 ? Fra og med hvilken verdi for n er den mindre enn 0,05 ?
       
    Når du løser denne oppgaven kan du studere tallverdiene for hvert ledd i tallfølgen som blir vist øverst til høyre i animasjonen!
    (Tilleggsoppgave: Forsøk ved hjelp av analyse av formelen å beregne verdien til det n-te ledd!)

    Anmerkninger til denne oppgaven:
     
    • Denne øvelsen skal klargjøre følgende: Dersom tallfølgen er konvergent, finnes det for hvert (uansett hvor lite) tall e en verdi n, slik at det gjelder fra og med denne verdien for n, at avstanden fra an til grenseverdien er mindre enn e .
       
    • NB: Med det uanselige uttrykket "fra og med" er det her fremsatt et sterkt utsagn: Alle (uendelig mange) ledd, som følger etter, må også oppfølge denne betingelsen:

      | an - grenseverdi  |  <  e

      Et slikt utsagn følger ikke av verdien til et endelig antall ledd i tallfølgen, men må bevises (ved matematisk argumentasjon). Om dette er lett eller vanskelig, er avhengig av den konkrete tallfølgen.