Stefan
Banach (1892-1945)
Det to-dimensjonale planet er modellen for alle vektorrom. Eit vektorrom er ein stad der ein kan addere ting og multiplisere dei med tal. Mengda av kontinuerlege funksjonar på [0,1], C[0,1], er eit godt eksempel.
I planet kan ein også måle avstander
mellom punktane. Dersom ein har ein målemetode på vektorromet
som oppfører seg slik at
1) null og berre null har lengde null
2) gangar du ein vektor med eit tal, gangast lengda med same talet
3) omvegar alltid er minst like lange som rett fram (trekantulikskapen),
kallast målemetoden ein norm
på vektorromet. I C[0,1] er avstanden mellom elementa, som no er
funksjonar, største avstand mellom grafane.
Når ei følge av punkt i planet "hopar seg opp", er det nødvendigvis mot eit punkt i planet. Planet er komplett. Når ei følge av brøker hopar seg opp, kan det godt vere mot noko utanfor brøkane. Hovedresultatet i reell-analysekurset på HiA er at når ei følge av funksjonar hopar seg opp i C[0,1], målt på denne måten, så er grensa ein kontinuerleg funksjon. Dette resultatet går heilt attende til Abels tid. No kan vi nok til å definere omgrepet Banachrom:
Eit Banachrom er eit komplett, normert vektorrom.
Banachteori er læra om Banachrom. Grunnen til at Banachrom er så interessante er at dei ser ut til å ha nok struktur til at det går an å vise sterke resultat, samstundes som krava er såpass svake at dei romar mange eksempel på klassar av objekt som dukkar opp i anvendingar av matematikk. Om vi legg på fleire krav, får vi spesielle klassar av Banachrom. Den mest kjende underklassen av Banachrom er kanhende Hilbertroma. Hilbertrom er Banachrom der normen kjem frå eit indreprodukt (slik som i det Euklidske planet). Banachrom er også spesialtilfelle av meir generelle strukturar. Samlinga av vektorar i eit Banachrom med lengde mindre enn eller lik 1 er ei konveks mengde og alle opne mengder er unionar av translat av forstørringer og forminskingar av denne samlinga. Dette gjer Banachroma til såkalla lokalkonvekse topologiske vektorrom som igjen er spesialtilfelle av ....
Korleis omgrepet Banachrom oppsto
Teorien for Banachrom skaut for alvor fart då Stefan Banach's bok Théorie des opérations linéaires kom i 1932. Du kan lese om Stefan Banach ved å klikke på namnet hans. I Théorie des opérations linéaires kallar Banach sjølv desse roma for "rom av type B", eller på fransk "espaces de type B." Ettertida tok hintet og kalla roma Banachrom.
Gåseproblemet, ein morosam historie.
Banach var leiaren for analysemiljøet i Lvov, dengong Polen, no Ukraina. Dei var mykje på ein kafe kalla "Den skotske kafe". Der hadde dei ei bok dei skreiv ned gode spørsmål. Desse problema hadde alltid ei belønning. Det mest berømte av desse problema hadde ei levande gås som belønning. Og spørsmålet er om operatorane av endelegdimensjonal rekkevidde mellom to Banachrom ligg tett i mengda av kompakte operatorar. For spesialklassen Hilbertrom er dette så, og har vore kjent sidan før 1920. Det var svensken Per Enflo som i 1972 gav eit eksempel som viser at svaret er nei. Han reiste då til Warszawa og innkasserte ei levande gås overlevert av Stanislaw Mazur.
Korleis Banach blei oppdaga
Ein dag i 1917 gjekk Hugo Steinhaus ein tur i parken i Lvov. På ein benk sat det to unge menn og diskuterte. Steinhaus oppfatta ordet "Lebesgue" og blei nyfiken. Han gjekk nærare benken og høyrde dei diskuterte Lebesgueintegralets fortrinn over Riemannintegralet. Særleg den eine viste ei uvanleg djup innsikt i Lebesgueintegrasjon, noko som kom med Henri Lebesgue si doktoravhandling i 1902. Slik blei Banach oppdaga og Steinhaus, sjølv ein ruvande matematikar, omtala dette som "mi største matematiske oppdaging". Mannen Stefan Banach diskuterte med blei og seinare berømt, han heitte Oleg Nikodym.
Tilbake til Olav Nygaard si heimeside